Estos son algunos problemas resueltos de topología, son sencillos:
5.- Muestre que si X es un conjunto infinito es conexo con la topología de los complementos finitos.
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que X es disconexo, entonces existe un subconjunto A de X que es abierto y cerrado a la vez, entonces X-A es también abierto y cerrado a la vez, luego como X = A(unión) X-A y ambos son abiertos, entonces ambos son finitos, lo que implica que X es finito, lo cual es una contradicción, por lo que X es conexo.
6.- Un espacio es totalmente disconexo si sus únicos subconjuntos conexos son conjuntos unipuntuales. Muestre que un espacio Hausdorff finito es totalmente disconexo.
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que X es un espacio Hausdorff finito que no es totalmente disconexo, entonces existe un subconjunto propio A de X de tal forma que A es conexo y A no es unipuntual ni vacío, por ser X T2, entonces X es T1, por lo que los conjuntos unipuntuales son cerrados y A es finito, por lo que A se puede ver con la unión disjunta de dos conjuntos cerrrados digamos C y A-C, donde C y A-C son cerrados, pues son uniones finitas de conjuntos cerrados (unipuntuales), entonces C y A-C son una disconexión de A, por lo que ni existe dicho A, luego X es totalmente disconexo.
7.-¿Es cierto que si X tiene la topología discreta, entonces X es totalmente disconexo? ¿Es cierta la inversa?
SOLUCIÓN: Supongamos que X es un espacio topológico dotado con la topología discreta, entonces cualquier subconjunto de X es abierto, y supongamos que X no es totalmente disconexo, entonces existe un subconjunto propio que no es unipuntual ni vacío tal que es conexo, sea B dicho conjunto, luego B es la unión disjunta de algunos C y B-C donde C es un subconjunto de B, pero como X está dotado con la topología discreta, C y B-C son abiertos, luego C y B-C son una disconexión de B, por lo que X es totalmente disconexo.
El inverso no es cierto siempre, consideremos el espacio X={1, 2, 3, 4} con la topología t={vacío, X, {1}} tenemos que {1} es el único subconjunto conexo y t no es la topología discreta.
8.- ¿Es cierto que si X es conexo, entonces para cada subconjunto propio no vacío A de X, tenemos Bd(A) es distinta del vacío? Recuerde que Bd(A)= Cl(A) intersección Cl(X-A).
SOLUCIÓN: Es cierto, pues si suponemos que X es conexo y que existe A subconjunto propio de X tal que Bd(A) es vacía, entonces Cl(A) intersección Cl(X-A) es vacía, por lo que tendríamos que Cl(A) y Cl(X-A) son cerrados disjuntos donde X = Cl(A) unión Cl(X-A) por lo que forman una disconexión de X, luego X es disconexo, lo cual es una contradicción, luego para cada subconjunto propio no vacío A de X, Bd(A) no es vacío.
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que X es un espacio Hausdorff finito que no es totalmente disconexo, entonces existe un subconjunto propio A de X de tal forma que A es conexo y A no es unipuntual ni vacío, por ser X T2, entonces X es T1, por lo que los conjuntos unipuntuales son cerrados y A es finito, por lo que A se puede ver con la unión disjunta de dos conjuntos cerrrados digamos C y A-C, donde C y A-C son cerrados, pues son uniones finitas de conjuntos cerrados (unipuntuales), entonces C y A-C son una disconexión de A, por lo que ni existe dicho A, luego X es totalmente disconexo.
7.-¿Es cierto que si X tiene la topología discreta, entonces X es totalmente disconexo? ¿Es cierta la inversa?
SOLUCIÓN: Supongamos que X es un espacio topológico dotado con la topología discreta, entonces cualquier subconjunto de X es abierto, y supongamos que X no es totalmente disconexo, entonces existe un subconjunto propio que no es unipuntual ni vacío tal que es conexo, sea B dicho conjunto, luego B es la unión disjunta de algunos C y B-C donde C es un subconjunto de B, pero como X está dotado con la topología discreta, C y B-C son abiertos, luego C y B-C son una disconexión de B, por lo que X es totalmente disconexo.
El inverso no es cierto siempre, consideremos el espacio X={1, 2, 3, 4} con la topología t={vacío, X, {1}} tenemos que {1} es el único subconjunto conexo y t no es la topología discreta.
8.- ¿Es cierto que si X es conexo, entonces para cada subconjunto propio no vacío A de X, tenemos Bd(A) es distinta del vacío? Recuerde que Bd(A)= Cl(A) intersección Cl(X-A).
SOLUCIÓN: Es cierto, pues si suponemos que X es conexo y que existe A subconjunto propio de X tal que Bd(A) es vacía, entonces Cl(A) intersección Cl(X-A) es vacía, por lo que tendríamos que Cl(A) y Cl(X-A) son cerrados disjuntos donde X = Cl(A) unión Cl(X-A) por lo que forman una disconexión de X, luego X es disconexo, lo cual es una contradicción, luego para cada subconjunto propio no vacío A de X, Bd(A) no es vacío.
